Physique statistique

Course Policies

• Devoirs : Il y aura trois devoirs à la maison, chacun comptant pour 10% pour un total représentant 30 % de la note finale. Vous êtes autorisé à travailler en petite équipe mais au MAXIMUM à quatre ou cinq personnes. Rendez vous copie en pdf avec latex (grace à overleaf par example!) ou bien en jupyter notebook (ce qui permet d'inclure les codes directements).

Scribing (Prise de note): La prise de note du cours en latex est importante et formatrice, au dela du service que cela donne à la communauté étudiante de l'EPFL. Il vous sera demander de participer à au moins UNE prise de note de cours sur overleaf. Au debut de chaque nouveau chapitre, nous vous fournirons un template overleaf en latex, et une liste pour s'inscrire. Attention, vous ne pourrez pas être plus de 8 personnes sur un seul chapitre! Le scribing sera noté, deux semaines après la fin du cours, et comptera pour  10 % de la note finale

• Examen : L'examen final comptera pour 60% de la note finale.

• Vidéos : Si vous manquez un cours, des vidéos des cours de seront postées sur la chaîne MediaSpace du cours. Elle seront aussi utile pour le scribing.

• Intégrité académique : La collaboration entre étudiants est autorisée et encouragée, mais elle doit viser à vous aider à apprendre. En d'autres termes, vous pouvez travailler ensemble sur la résolution des devoirs, mais vous devez toujours rédiger vos solutions séparément. Vous devez également implémenter le code et faire vos calculs seul! Chaque collaboration doit être déclarée par toutes les parties impliquées dans le devoir concerné. 

EXAM IMPORTANT INFORMATIONS

• Aucun documents autorise. Si besoin; nous vous fournirons un formulaire.
• Travaillez bien sur le mock exam: LE VOICI AVEC SA CORRECTION!
• Exercices importants a reviser: TOUS! Mais en particulier:

Serie2/1Serie3/1Serie4/1Serie5/1 et 5/2Serie 7/1 et 7/2Toute la serie 10

Serie 1, mardi 10/9 : Dans la premiere série, nous parlerons de deux techniques mathematiques fondamentales pour notre cours, à savoir la methode de Laplace, et la transformee de Legendre. Cette serie d'exercices est fondamentale, car ces techniques ne cessent de revenir en physique statistique. Vous trouverez le pdf de la Serie1 ici et les corrections de la Serie 1 la.

Cours 1, jeudi 12/8: Apres une presentation génerale, ce premiers cours sera pour nous l'occasion de faire des rappels utiles de probabilités. En effet, avant toute chose, la physique statistique est probabiliste! [Vidéo 1] [Vidéo 2] [Vidéo 3]

Scribing cours 1:  Voici le template pour le cours 1, en latex/overleaf. Vous pouvez vous inspirer de ces notes de cours, qui sont en anglais. N'oubliez pas de rajouter vos noms dans la case #4 sur le fichier latex, ainsi que de noter le numero du cours que vous scribez dans le fichier excel du cours (sinon vous n'aurez pas votre note!)

Quelques commentaire apres le cours: 

• Vous êtes plusieurs à avoir été intrigués par la notation $f_N(x) {\asymp} e^{N g (x)}$ ou encore $f_N(x) \underset{N \to \infty}{\asymp} e^{N g(x)}$. On peut la lire comme « se comporte, quand NN  est grand, comme », mais sa signification mathématique précise est :
  $\lim_{N \to \infty} \frac 1N \log f_N(x) = g(x)$.  Par exemple, la méthode de Laplace de la Série 1 peut s’écrire comme $I_N = \int e^{N f(x)} dx \asymp e^{N \sup f(x)}$  mais, en réalité, cela signifie plutôt que $\lim_{N \to \infty} \frac 1N \log {I_N } = \sup f(x)$. C'est une notation souvent commode quand on considère des objets exponentiellement grands ou exponentiellement petits.

• Nous avons vu dans ce cours que, pour une variable aléatoire $X$ de moyenne $\mu$ et de variance $\Delta$, si l'on observe une moyenne empirique $Y_N = \frac{1}{N} \sum X_i$, on s'attend à ce que $Y_N$ soit proche de $\mu$ avec des fluctuations typiques d'ordre $\sqrt{\frac{\Delta}{N}}$, et que ces fluctuations soient distribuées comme une gaussienne en vertu du théorème de la limite centrale. Par contre, si l'on s'intéresse aux grandes déviations, qui sont très rares (et même exponentiellement rares), nous avons vu que le théorème de Cramér nous dit que : $\mathbb{P}(Y_N \in [a,a+da]) \asymp e^{-NI(a)}$ où $I(a)$ est la fonction de grande déviation, donnée par la transformée de Legendre de la fonction génératrice des cumulants, c'est-à-dire $I(x) = \sup_{\lambda \in \mathbb{R}} \left( \lambda x - \log \mathbb{E}\left[e^{\lambda X_1}\right] \right)$ (Notez que pendant le cours, j'ai plutôt écrit $\mathbb{P}(Y \ge a)$, mais je vous laisse réfléchir au fait que c'est la même chose à droite de la moyenne...).

• De même, nous avons discuté de ce qui se passe si l'on observe une estimation empirique des fréquences dans un histogramme avec des probabilités $\{p\} = p_1, p_2, \ldots, p_k$ avec $N$ essais. On se doute bien que, typiquement, on devrait observer des fréquences empiriques $\hat{p}_i$ proches des vraies $p_i$, avec $\hat{p} \approx p \pm \sqrt{\frac{1}{N}}$. Mais si l'on s'intéresse aux grandes déviations, le théorème de Sanov nous dit que $\mathbb{P}(\{\hat{p}\}) \asymp e^{-N D_{\rm KL}(\{\hat{p}\} \,||\, \{p\})},$ où la fonction de grande déviation est donnée par l'entropie relative (ou divergence de Kullback-Leibler) donnée par $P = \{p_1, p_2, \ldots, p_k\}$ et $Q = \{q_1, q_2, \ldots, q_k\}$ est donnée par : $D_{\text{KL}}(P \,||\, Q) = \sum_{i=1}^k p_i \log \left( \frac{p_i}{q_i} \right).$

Cela conclut notre étude probabiliste des fluctuations typiques et larges. Vous aurez l'occasion d'y revenir et de les appliquer dans la Série 2 ! La semaine prochaine, nous prouverons ces deux relations, ce qui conclura notre exploration des lois de la probabilité, avant de commencer notre étude de la physique statistique proprement dite.

Serie 2, mardi 17/9 : Dans cette seconde série, nous allons appliquer nos connaissances en probabilité et examiner les fluctuations typiques et larges pour un problème de pièces tirées à pile ou face. Nous allons aussi calculer le volume d'une hypersphère en toutes dimensions, un calcul qui se révélera très utile bientôt ! Vous trouverez le pdf de la Serie2 ici et ici le pdf de la correction de la Serie 2.

Cours 1+2, jeudi 19/8:  [Vidéo 1] [Vidéo 2] [Vidéo 3] [Vidéo 4] Nous allons d'abord terminer le premier chapitre et démontrer les théorèmes de Sanov et de Cramér. Munis de nos connaissances expertes en probabilités, nous commencerons ensuite le second cours, intitulé "Principes fondamentaux : Micro- et Macro-états, et Ergodicité", qui traitera des fondements de la physique statistique à travers un exemple simple (voire simpliste) d'un système de N spins indépendants. Cela nous sera très utile pour exposer les bases de la physique statistique!

Scribing cours 2: Puisque le second cours commencera, voici le template pour le cours 2, en latex/overleaf.

Serie 3, mardi 24/9 : Puisque nous avons compris qu'il fallait compter les états pour faire de la physique statistique, nous allons, dans cette troisieme serie, compter les états pour N particules sans interaction à énergie et volume fixes. C'est un calcul fondamental pour la suite. Vous trouverez ici la correction.

Cours 3, jeudi 26/9:  [video1] [video2] [video3] Nous voilà enfin prêts à commencer notre étude de la physique statistique. Cette semaine, nous nous concentrerons sur les systèmes isolés et étudierons ce que l'on appelle le formalisme micro-canonique,  et montrer que la physique statistique permet de retrouver les lois de la thermodynamique!

Scribing cours 3: Voici le template pour le cours 3, en latex/overleaf.

Série 4, mardi 1/10 : Vous êtes maintenant prêt à faire vos premiers calculs et prédictions en physique statistique avec le gaz parfait et le système paramagnétique dans cette quatrième série. Vous trouverez ici la correction.

Cours 4, jeudi 3/10:  [Video 1] [Video 2] [Video 3] Nous voilà enfin prêts à arriver au sommet de notre étude de la physique statistique: le formalisme canonique! C'est un gros morceau qui nous prendra bien deux sessions!

Quelques errata apres le cours: On m'a fait remarque que j'ai un $2\pi$ au mauvais endroit dans le cours 3! Je rappelle la bonne mesure d'integration dans le continu, c'est bien $\int \frac{dqdp}{h} = \int \frac{dqdp}{2\pi \hbar}$. Par ailleurs attention au $T$ et $1/T$. La relation pour la chaleur specifique s'ecrit bien: $C_V = \frac{\partial \langle E\rangle}{\partial T} =  T\frac{S(T)}{\partial T}$.

Quelques commentaires apres le cours: Vous trouverez plus  d'information, ainsi que des donnees, sur la cahaleur specificque de sgaz diatomique.  ici : https://en.wikipedia.org/wiki/Molar_heat_capacity.   

Scribing  lec 4: Voila le lien overleaf pour le scribing! Bonne chance, et n'oubliez pas d'inscrire vos noms!

Série 5, mardi 8/10 : Vous êtes maintenant prêt à faire vos premiers calculs en formalisme canonique dans cette cinquième série! Vous trouverez la correction ici.

Cours 5, jeudi 10/10:   [Vidéo 1] [Vidéo 2] [Vidéo 3] Nous allons finir notre étude du formalisme canonique, et discuter du principe de maximisation de l'energie libre, et discuter de ses derivees. Une fois cela fait, nous passerons a un autre chapitre, toujours sur le formalisme canonique, mais en se focalisant les l'étude de larges systèmes, aussi appele "la limite thermodynamique"! Comme nous le verrons, cela permet de retrouver toute la thermodynamique, mais aussi de comprendre la relation entre physique statistique et grande deviations a travers l'equivalence des ensembles!

Scribing  lec 5: Nous allons commencer le cours sur la limite thermodynamique grand canonique, voila donc le lien overleaf pour le scribing! N'oubliez pas d'inscrire vos noms!

Série 6, mardi 15/10 : Dans la sixième série, nous allons continuer a utiliser le formalisme canonique et étudier la chaleur spécifique dans les solides, et en particuliers les fameux modèles d'Einstein et de Debye. Vous trouverez la correction ici.

Cours 6, jeudi 17/10:  [Vidéo 1] [Vidéo 2] [Vidéo 3] Maintenant que nous connaissons bien les formalismes canonique et microcanonique, nous pouvous generaliser nos connaissances a d'autres ensemble, et etudier le formalisme grand canonique et le formalisme p-T (aussi appelé formalisme de Gibbs en Anglais). Cela vas permettre de conclure notre presentation du formalisme de la physique statistique.

Scribing  lec 6: Voila donc le lien overleaf pour le scribing! N'oubliez pas d'inscrire vos noms!

Série 7, mardi 29/10 : Dans cette septieme serie, nous allons maintenant utiliser le formalisme grand-canonique! Nous avons maintennat fait le tour entier du formalisme de la physique statistique! Hoorah! Vous trouverez la correction ICI.

Scribing  lec 7: Voila donc le lien overleaf pour le scribing! N'oubliez pas d'inscrire vos noms!

Série 8, mardi 5/11 : Dans cette huitieme serie, nous allons pouvoir pratiquer nos connaissances sur les simulations MCMC. N oubliez pas de prendre vos ordinateurs pendant la seance! Nous coderons sous python! Ici un modèle de cahier python pour vous guider dans le premier exercice. Vous trouverez la correction ici.

Scribing  lec 8: Voila donc le lien overleaf pour le scribing! N'oubliez pas d'inscrire vos noms!

PAS DE SERIE, mardi 12/11 : Cette semaine, nous allons plutot commencer le HomeWork II

 
Cours 9, jeudi 14/11:   [Vidéo 1] [Vidéo 2] [Vidéo 3] Nous allons continuer notre discussion des transition de phases en champ moyen! C'est un sujet inépuisable (mais nous tacherons quand meme de finir!) 

Quelques references pour le cours:

• Les exposants critique du modele d'Ising (ici en anglais)
• Le diagramme des phase liquide/gaz/solide et en 2d (P vs V et P vs T)
• Equation de VdW
• Un cours detaillé sur le modele de Curie-Weiss

Série 9, mardi 18/11 : Dans la neuvième série, nous allons etudier le transition de phase pour le modele champ moyen de Curie Wiess avec l'aide de Metropolis Hasting et de Glauber. N'oubliez pas de prendre vos ordinateurs pendant la seance! Nous coderons sous python! Vous trouverez la correction ici.

Cours 10, jeudi 21/11: [Vidéo 1] [Vidéo 2] [Vidéo 3] Systeme en interaction en dimension finie : Faiblesses du champ moyen, et phenomenologie des systemes physique reels. Dans ce cours, nous allons discuter de l'insufisance de la théorie champ-moyen des transition de phases, dite aussi teore de Landeau. Nous allons en profiter pour introduire des méthodes de calculs puissantes pour les systemes reels en dimension finie!

Scribing  lec 9: Voila donc le lien overleaf  [link] pour le scribing! N'oubliez pas d'inscrire vos noms!

Série 10, mardi 26/11 : Dans la neuvième série, nous allons étudier le gaz sur réseau. Vous trouverez ici la solution

Cours 11, jeudi 28/11:  Nous allons continuer sur les système en interaction en dimension finie et développer l'idée des série de hautes et basses température, et discuter également de l'approche de la matrice de transfert en une dimension. Vous pouvez aussi trouver [ici] des notes bien faite sur le développement du Viriel.

Mardi 03/12 : Nous allons résoudre ensemble les deux premiers devoirs.

Jeudi 05/12:  Nous allons commencer ensemble le troisième devoir.

Cours 12, jeudi 12/12 : [Vidéo 1] [Vidéo 2] [Vidéo 3] Nous allons finir cette annee en revenant sur les modeles quantiques, et nous parlerons de gaz de bose, et de gaz de Fermi. 

Scribing: ATTENTION, ce dernier cours est la derrière occasion de participer au scribing, voila le lien

Pour cette derniere semaine, nous allons faire les choses suivantes:

MARDI:  Homework III avec les TAs, pour cette dernière session, nous allons vous aider a finir le homework III avec nous.

JEUDI: Nous finirons les modeles quantiques, discuterons un peu du fameux probleme du rayonnement du corps noir (slides), et pratiquerons un mock exam pour vous preparer convenablement a l'examen final. Travaillez bien sur le mock exam: LE VOICI AVEC SA CORRECTION!

Joyeuses fêtes de fin d'année à vous!