Introduction à la commande des systèmes dynamiques

Cours d'introduction à la théorie des asservissements et de la régulation pour les systèmes continus linéaires à temps invariant.

Bien que le cours soit donné à un niveau d'abstraction considérable, il trouvera des domaines d'application qui touchent au mécanisme de régulation existant dans la nature et en particulier dans les sciences et l'ingénierie environnementales, le cycle de l'eau, la dynamique des populations, la lutte pour une ressource ou la coopération.

Phénoménologie (diapositives)

Modélisation (papier, crayon)

Après passer en revue la phénoménologie (système dynamique, entrée, perturbation, boucle ouverte, boucle fermée, et 4 exemples), on présente la modélisation en insistant sur les variables d'état et les paramètres. On couvre les 4 exemples des diapositives sur la phénoménologie.

Exercices

Vous serez confrontés à modéliser des systèmes analogues à ceux présentés dans la partie théorique sur la modélisation.

Simulation

Des méthodes approximatives pour déterminer la sortie d'un modèle d'un système dynamique connaissant l'entrée et les conditions intiales sont présentées.

• Méthodes d'Euler à pas fixe, explicite et implicite
• Méthode de Runge-Kutta à pas fixe

Convolution et transformées de Laplace

Théorie et rappel des concepts vus en Analyse IV et Signals Information and Systems

Bien que déjà présenté dans d'autres cours, le principe de linéarité donne naissance au produit de convolution qui permet de caractériser tout système linéaire stationnaire, au repos et causal par sa réponse impulsionnelle. Nous reverrons ce concept en insistant sur le principe des quotients de convolution et de son élément neutre, l'impulsion de Dirac. L'opérateur de dérivation 'd' permet alors de dériver des fonctions qui ne sont pas dérivables à proprement parler et fait apparaître la condition initiale.

L'isomorphisme avec le produit des fractions de polynômes en la variable complexe 's' est présenté ensuite en insistant sur la condition initiale. C'est la transformée de Laplace unilatérale.

Les exercices de cette semaine seront essentiellement calculatoires. Les applications pratiques sont repoussés à la semaine qui suit. On insistera dans la partie théorique sur les conditions initiales, la différence entre la transformée des équations différentielles (avec les bonnes conditions initiales) et la tranformée des signaux, l'importance de la décomposition en éléments simples et la position de la racine du dénominateur (pôle) de ceux-ci dans le plan complexe.

Boucle ouverte, boucle fermée, régulateurs simples

Deux assemblages fondamentalement différents sont présentés. Il s'agit de la boucle ouverte et de la boucle fermée.

La terminologie est détaillée: système à régler, régulateur, grandeur de commande, grandeur à régler, consigne ou référence.

La boucle fermée est la manifestation de la rétro-action, c'est-à-dire de l'action sur l'entrée d'un système par l'information de la sortie du système. Cette construction a, entre autres, trois avantages:
 
1. désensibilisation aux variations paramétriques du système  
2. pouvoir de stabilisation d'un système instable
3. capacité de rejeter les perturbations

On présente ces avantages et les limitations à atteindre tous ces objectifs avec un seul régulateur.

Les régulateurs dits simples sont alors exposés

1. Le régulateur proportionnel
2. Le régulateur proportionnel dérivateur
3. Le régulateur proportionnel intégral
4. Le régulateur proportionnel dérivateur et intégral

Bien entendu, il existe des régulateurs plus compliqués. On donnera une explication intuitive de la raison pour laquelle les régulateurs simples constituent la majorité des régulateurs que cela soit dans les systèmes naturels ou artificiels.

Stabilité

Les fonctions de transfert (asservissement et régulation) sont des fractions de polynômes. Les racines du numérateurs sont les zéros de la fonction de transfert. Les racines du dénominateur sont les pôles.

On montre que cela soit en asservissement ou en régulation, les pôles sont les mêmes. Les zéros peuvent changer.

Le résultat de cette leçon est que la fonction de transfert est stable entrée-sortie (stabilité BIBO, bounded-input, bounded output) lorsque les pôles sont à partie réelles négatives. Elle est instable lorsque un pôle possède une partie réelle strictement positive.

Il y a deux difficultés:

• les pôles multiples
• les pôles à partie réelle nulle

Test intermédiaire

MERCREDI 9 avril de 9h15 à 11h15 test intermédiaire. 

Contenu: tout jusqu'à la boucle fermée et régulateurs simples, leçon 6 incluse.

Toute documentation autorisée, y compris calculatrice programmable.

NOTE finale  = 0.8 x examen fin d'année + 0.2 x test intermédiaire

Critère de Nyquist

L'examen du tracé de Nyquist permet de déterminer la stabilité de la boucle fermée.

Nous avons vu que le polynôme A R + B S est celui qui détermine la stabilité.

En effet, c'est le polynôme du dénominateur des fonctions de transfert de la boucle fermée. La stabilité est garantie lorsque les parties réelles des zéros de ce polynôme sont toutes strictement négatives.

Au lieu de considérer le calcul explicite des zéros du polynôme, on examine le lieu des points complexes donnés par l'expression du transfert harmonique en boucle ouverte.

La réponse harmonique en boucle ouverte est une courbe de points dans le plan complexe donnée par le produit K G lorsque la variable de Laplace 's' prend les valeurs sur l'axe imaginaire. L'image de l'axe imaginaire par K G devient une courbe dans le plan complexe.

La manière d'encercler ou non le point critique -1 dans le plan complexe décide de la stabilité. C'est le critère de Nyquist.

Il n'est pas nécessaire de calculer les zéros de A R + B S.

Un avantage est que le critère donne une "mesure" de la distance à l'instabilité.

REMARQUE:  Il est plus facile de résoudre les problèmes avec Matlab. Ayez également la Control System Toolbox à disposition. Je donnerai les détails pendant la leçon.

Vacances de Pâques

Diagramme de Bode (première partie)

Le diagramme de Nyquist permet l'interprétation de la stabilité de la boucle fermée en examinant la boucle ouverte sans calculer explicitement les pôles de la fonction de transfert en boucle fermée. On présente une interprétation physique du diagramme de Nyquist en examinant le régime harmonique.

On introduit deux marges, la marge de phase et la marge de gain. Cela donne une sorte de mesure de la distance à l'instabilité. On introduit les concepts de pulsation de croisement et de pulsation critique.

La synthèse du régulateur peut s'appuyer sur le diagramme de Nyquist. Toutefois la courbe tracée perd la dépendance explicite de la pulsation (la fréquence).

Il est plus commode d'utiliser la diagramme de Bode, pour essentiellement trois raisons:

1.  la pulsation apparaît explicitement au prix de deux courbes au lieu d'une seule comme pour le diagramme de Nyquist
2.  l'échelle verticale logarithmique (en décibels dB) permet d'additionner le régulateur et le système à commander au lieu de multiplier.
3.  l'échelle horizontale logarithmique permet un traçage facile "à la main" en se fondant sur les valeurs asymptotique (diagramme asymptotique).

On reprend la représentation et on abandonne momentanément les fonctions de transfert.

En considérant une représentation possible du comportement entrée-sortie de la fonction de transfert par une représentation d'état, deux concepts sont introduits:

1. La gouvernabilité ("controllability" en anglais). C'est la propriété de faire transiter le système à l'aide d'une commande an boucle ouverte d'un état initial, la condition initiale, vers un état final, la condition finale, en un temps T arbitraire.
2. L'observabilité. C'est la capacité de reconstruire la condition initiale connaissant uniquement l'entrée et la sortie du système.

Observateur