Algèbre linéaire avancée II

MATH-115(b)

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Enseignant : Dr. Alexis Michelat

Assistant principal : Dr. Nicolas Hemelsoet


PLAN DE L'EXAMEN


L'examen aura lieu le Mardi 17 juin 2025 de 09h15 à 12h45 (CE 1 4, CE 1 5, CE 1 6).


Liste étudiante : lien


  • Plan de la salle CE 1 4 : lien 
  • Plan de la salle CE 1 5 : lien
  • Plan de la salle CE 1 6 : lien

Cours ex-cathedra

Les cours auront lieu le mercredi entre 8h15 et 11h00 en salle CO 3 à partir du 19 février 2025.

Organisation des exercices

Les exercices ont lieu le jeudi de 13h15 à 16h00 dans les quatre salles suivantes : CM 0 9, CM 0 10, CM 0 11, CM 0 12.

Les assistants sont répartis de la manière suivante :

CM 0 13 : Benjamin Honoré, Léonard Lebrun, Matthieu Stoll

CM 0 11 : Jules Delerue, Mayas Farhat, Thomas Michel

CM 0 12 : Antoine Auberger, Corentin Genton

CM 0 9 : Alexandre Cordonnier, Nicolas Hemelsoet

Les notes de cours seront susceptibles d'être mises à jour chaque semaine et sont disponibles au lien suivant : polycopié.

Les notes de cours de l'année passée sont disponibles sur cette page, mais seules les notes de cours ci-dessus feront foi pour l'examen.

Forum

Le forum est disponible au lien suivant. Si le lien ne fonctionne pas, un lien alternatif est disponible ci-dessous.

L'examen aura lieu le Mardi 17 juin 2025 de 09h15 à 12h45 (CE 1 4, CE 1 5, CE 1 6).

Objectif du cours

L'objectif du cours est d'introduire les notions de base de l'algèbre linéaire et de démontrer rigoureusement les résultats principaux du sujet.

Contenu du cours

Compléments sur la structure des endomorphismes et formes canoniques de Jordan. Espace dual et formes bilinéaires, couplage entre espaces vectoriels, formes quadratiques. Produits scalaires, bases orthonormées, projections orthogonales, isométries, matrices orthogonales, théorème spectral (première version). Espaces pseudo-euclidiens, théorème de Sylvester, espace-temps de Lorentz-Minkowski et relativité restreinte. Formes hermitiennes, espaces hermitiens, opérateurs auto-adjoints et normaux,  théorème spectral (deuxième version), groupe unitaire, un regard sur la mécanique quantique. Notions de base sur les tenseurs.

Bibliographie

- N. Bourbaki, Algèbre Chapitres 1 à 3, Springer Berlin, Heidelberg. Édition originale publiée par Masson, Paris, 1970. (Bourbaki, c'est parfois très lourd, mais ça reste souvent l'une des meilleures références.)

- S. Lang, Algebra, Revised 3rd Edition, Springer New York, NY. Originally published by Addison-Wesley, 1993. Disponible en français également : Algèbre, Dunot. (Difficile de faire plus clair, mais le style un peu sec de Lang peut rebuter certains lecteurs.)

- M. Artin, Algebra, 2nd edition. (Un peu plus vivant que le livre de Lang ; la lecture est assez agréable).

- R. Cairoli, Algèbre linéaire, PressesPolytechniques Universitaires Romandes, 2e édition 1999.

- K. Hoffman, R. Kunze, Linear Algebra, Prentice-Hall, second edition, 1971.

- R. Dalang, A. Chabouni, Algèbre linéaire, PressesPolytechniques Universitaires Romandes, 2e édition, 2004.


Documentation

Semaine 1

Nous avons traité l'ensemble des notions allant du début du polycopié jusqu'à l'énoncé du Théorème de Cayley-Hamilton dans le cas complexe (Théorème 9.6.1 page 14). La preuve sera donnée dans la séance 2. Le polycopié a été mis à jour.

Semaine 2

Nous allons traiter le théorème de Cayley-Hamilton et poser les premières pierres de l'édifice qui nous permettra de montrer le théorème de Jordan.

Semaine 3

Semaine 4



Semaine 5

Semaine 6

En classe, nous avons repris dépuis le début la partie sur le produit tensoriel page 37 et nous nous sommes arrêtés après le Théorème 10.6.3 page 41 sur la structure des formes quadratiques.

Semaine 7

En classe, nous avons commencé par donner la définition de la signature d'une forme quadratique (p. 41) et expliqué l'algorithme de Gauss (on a traité des exemples non mentionnés dans le polycopié). Ensuite, nous avons commencé le Chapitre 11 sur le produit scalaire, avons démontré l'inégalité de Cauchy-Schwarz puis défini diverses quantités géométriques avant d'énoncer la Proposition 11.1.3. montrant que la distance associée à la norme satisfait à l'inégalité triangulaire et finalement, nous avons terminé le cours par l'énoncé général du Théorème de Pythagore (p. 49).

Semaine 8

Nous avons repris le cours à partir du théorème de Pythagore et l'on a introduit la notion de base orthogonale (et orthonormée) avant de finir le cours par la preuve du procédé d'orthonormalisation de Gram-Schmidt page 55. On finira le chapitre 11 la semaine prochaine.

Semaine 9

Nous avons terminé le chapitre 11 sur le produit scalaire.

Semaine 10

Nous avons traité le chapitre 12 dans son intégralité.

Semaine 11

Nous avons commencé le chapitre 13 et avons terminé le cours avec la Proposition 13.4.2 page 79 sur les propriétés des opérateurs normaux.

Semaine 12

On va finir le cours et commencer une section hors-programme (mais d'intérêt en physique mathématique) sur l'espace de Hilbert.

Semaine 13

Documents utiles pour l'examen

Instructions Pratiques pour l'examen

L'examen aura lieu *** dans les salles ***

Merci de lire les instructions si-dessous :