Commande non linéaire

Objectifs: Ce cours introduit les méthodes de base d'analyse et de commande des systèmes non linéaires.

Contenu: Notions générales sur les systèmes non linéaires. Description du comportement dans l'espace de phase. Méthode de l'équivalent harmonique. Analyse de stabilité par la méthode de Lyapunov. Théorie de la passivité. Linéarisation. Notions de géométrie différentielle. Fonction de Lyapunov de commande.

Forme de l'enseignement: Ex cathedra avec exemples et exercices intégrés. Trois travaux pratiques à l'ordinateur intégrés aux heures de cours.

Livres:

Ph. Müllhaupt, Introduction à l'analyse et à la commande des systèmes non linéaires, PPUR, 2009.

Khalil, H.K, Nonlinear Systems, Third edition, Prentice Hall, 2002.

Préalables requis: Control Systems.

Examen: Oral, 15 minutes de préparation suivi de 15 minutes d'interrogation. Toute documentation autorisée.

Introduction

• Système avec entrées sorties
• Classe de systèmes
• Solution de l'équation différentielle
• Principe de superposition
• Equilibre
• Paticularités non linéaires (I. réponse indicielle disymétrique; II. termes d'ordre supérieur; III. points d'équilibres isolés multiples; IV. explosion en temps fini; V. orbites chaotiques)
• Objectif du cours

Série 0. Deux exercices à titre introductif.

Systèmes du second ordre: plan de phase

• Plan de phase pour les systèmes du second ordre
• Techniques de représentation du plan de phase
• Systèmes linéaires du second ordre
• Système masse ressort
• Graphe des pentes (élimination du temps explicitement; élimination du temps implicitement; méthode des isoclines; exemple: l'oscillateur de Van der Pol)
• Cycle limite (classification des cycles limites)
• Index topologique (théorème de l'index)
• Théorème de Bendixson
• Impossibilité du chaos planaire

Méthode du premier harmonique (1 ère partie)

• Système linéaire et non-linéarité statique
• Excitation sinusoïdale en boucle ouverte
• Caractéristique passe-bas du système linéaire
• Gain complexe équivalent (décomposition en harmonique; calcul des premiers coefficients; équivalent du premier harmonique; exemple de la saturation)

I. Méthode du premier harmonique (2 ème partie)

• Système en rétroaction
• Conditions pour la présence d'un cycle limite
• Détermination approximative de l'amplitude et de la pulsation
• Croisement de la réponse harmonique et condition de stabilité (théorème des résidus; critère de Nyquist)
• Fiabilité de l'analyse par la méthode du premier harmonique

II. Introduction à la méthode de Lyapunov

• Point d'équilibre
• Stabilité pour les systèmes linéaires
• Définition intuitive de la stabilité
• Définition mathématique formelle de la stabilité (notion de distance; stabilité au sens de Lyapunov; instabilité; stabilité asymptotique)

Séance I assistée à l'ordinateur

• Plan de phase et méthode du premier harmonique

Techniques d'analyse par les méthodes de Lyapunov

• Désavantage de la définition de la stabilité
• Méthode directe de Lyapunov (candidat de Lyapunov; fonction de Lyapunov)
• Equivalence avec la définition de la stabilité (démonstration de stabilité locale)
• Exemple: Robot pleinement actionné (lois de la mécanique; candidat de Lyapunov; fonction de Lyapunov)
• Systèmes linéaires et Lyapunov (démonstration de l'égalité matricielle de Lyapunov)

Méthode de Lyapunov et théorème d'invariance de LaSalle

• Stabilité locale et linéarisation
• Stabilité globale
• Théorème d'invariance de LaSalle (ensemble invariant; ensemble définit par l'annulation de la dérivée de la fonction de Lyapunov; théorème d'invariance de LaSalle; exemple du pendule)

Constructions des fonctions de Lyapunov; théorèmes d'instabilité

• Construction par la méthode de Krasovskii
• Construction par la méthode du gradient variable
• Instabilité et méthode de Lyapunov
• Théorème d'instabilité de Chetaev

Séance II assistée à l'ordinateur

• Fonction de Lyapunov et théorème d'invariance de LaSalle

Passivité

• Passivité (notion intuitive; résistance électrique; circuit RLC; passivité et fonction de Lyapunov; définition différentielle; définition intégrale)
• Propriétés (connexion parallèle; connexion en rétroaction)
• Passivité pour les systèmes linéaires (degré relatif et minimum de phase)

Stabilité absolue et critère du cercle

• Passivité des systèmes linéaires et équation de Lyapunov (théorème de Kalman-Yakubovich-Popov)
• Système linéaire et non linéarité statique (non-linéarité statique de secteur; définition de la stabilté absolue; conjecture de M. A. Aizerman)
• Critère du cercle (stabilité absolue)

Linéarisation par bouclage et changement de coordonnées

• Linéarisation exacte (présence d'une sortie; chaîne d'intégrateurs; équation d'erreur et stabilisation de la chaîne d'intégrateur; condition sur la sortie)
• Outils géométriques (dérivée de Lie; conditions sur la sortie en utilisant la dérivée de Lie; crochet de Lie; deux formes du théorème de Frobenius; conditions de linéarisation)

Séance III assistée à l'ordinateur

• Linéarisation par bouclage et changement de coordonnées

Linéarisation exacte (suite)

• forme exacte et intégrable

Visite du Dr. Willson Sudarsandhari (ETEL) - 11:15 - 12:00