Géométrie différentielle I - courbes et surfaces

Cours MATH-213 : Plan de Révision

Chapitre 1 : Rappels sur les espaces euclidiens

• Géométrie des espaces vectoriels euclidiens : produit scalaire, transformations orthogonales, isométries, la notion d’orientation, ainsi que les différents produits de la géométrie vectorielle (§ 1.6 et 1.7).

Chapitre 2 : Courbes dans l’espace et le plan euclidien

• Connaître les définitions de base sur les courbes paramétrées, notamment : vitesse, arcs réguliers, biréguliers, plan osculateur, courbes simples, longueurs, abscisse curviligne, paramétrisation naturelle, etc.
• Comprendre ce qu’est une notion géométrique (vs. cinématique) et savoir démontrer qu’une notion donnée est géométrique (par exemple la longueur ou la courbure d’une courbe).
• Comprendre les notions liées à la courbure d’une courbe : le vecteur de courbure, la formule de l’accélération, le cercle osculateur. Comprendre et savoir utiliser les formules de Serret-Frenet.
• Savoir calculer dans des exemples concrets le repère de Frenet, la courbure et la torsion. Comprendre la signification géométrique de ces notions.
• Comprendre l’énoncé et la preuve du théorème fondamental de la théorie des courbes dans l’espace, ainsi que la version de ce théorème dans le plan orienté (ce qui suppose en particulier de comprendre la notion de courbure orientée dans le plan).

Chapitre 3 : Calcul différentiel et sous-variétés

• Ce chapitre suppose une compréhension claire des notions de base de topologie (voir l'appendice A) et surtout de calcul différentiel, qui sont rappelées au § 3.1. Il s'agit, entre autres, des notions d’application de classe C^k, d'application différentiable au sens de Fréchet, de différentielle, du Jacobien, du gradient, la notion de rang d'une application différentiable, et les notions d’immersion et de submersion, etc.
• Comprendre la notion de système de coordonnées curvilignes sur un domaine de Rⁿ .  
• Il faut connaître les énoncés du théorème d’inversion locale et du rang constant et savoir utiliser ces théorèmes (mais pas besoin de connaître les preuves pour cet examen).
• Ceci étant posé, la notion fondamentale de ce chapitre est celle de sous-variété de Rⁿ, il faut bien comprendre la définition et les exemples. Le résultat principal est le théorème 3.15 (bien comprendre les exemples qui sont donnés).
• Ensuite, le concept clé à bien comprendre est celui d’espace tangent en un point d’une sous-variété, puis celui d’application différentiable entre deux sous-variété et la proposition 3.20. Vous pouvez ignorer le § 3.5.

Chapitre 4 : Géométrie des sous-variétés

• Être au clair avec  les notions de distances intrinsèque et extrinsèque sur une sous-variété.
• Comprendre le lemme 4.1 qui caractérise les isométries intrinsèques entre deux sous-variétés, et le théorème 4.2 (sans la preuve).
• La géométrie intrinsèque d’une sous-variété est contrôlée par son tenseur métrique. Le § 4.2 contient des méthodes de calculs et des exemples essentiels à comprendre.
• Le tenseur métrique permet de calculer des longueurs de courbes, des angles, des aires et des volumes sur les sous-variétés (étudier le § 4.3, et comprendre la notation ds^2; à ce sujet vous pouvez lire l'appendice B).
• Le § 4.4 décrit comment e tenseur caractérise les isométries entre variété. Nous ne l'avons pas étudié en profondeur mais nous avons vu le corolaire 4.4. Il faut bien comprendre ce corollaire.
  
• Comprendre la notion de volume ainsi que l’intégration sur une sous-variété (voir § 4.4 et 4.5).
• Le § 4.6 peut être lu rapidement, il ne contient que des définitions.

Chapitre 5 : Les surfaces et leur courbure

• Comprendre la notion de surface (co-)orientée et l'application de Gauss.
• Connaître la définition du repère de Darboux d'une courbe tracée sur une surface, les notions de géodésique, de courbure géodésique, de courbure normale et de torsion, ainsi que les équations de Darboux. L'interprétation géométrique de ces notions a été vue aux exercices. Le théorème 5.5 peut être laissé de côté, mais il faut prendre note du corollaire 5.6.
• Bien comprendre le théorème 5.8 (de Meusnier) et sa preuve
  
• La courbure d'une surface se décrit à partir de l'application de Weingarten et de la deuxième forme fondamentale. Il est important de bien maîtriser ces concepts, leurs propriétés fondamentales et les liens entre eux.
• Comprendre les notions de points paraboliques, hyperboliques, elliptique et ombiliques d'une surface.
• Savoir calculer les courbures de Gauss et moyenne d'une surface paramétrée dans des exemples concrets.
• Comprendre le théorème 5.19 (énoncé et preuve),
• Connaître et comprendre les énoncés du théorème Egregium de Gauss, du théorème de Minding et du théorème de Hilbert sur les surfaces complètes à courbure constante négative (sans les preuves).

Remarques Finales

1. Être capable de faire des calculs avec les objets de la géométrie différentielle fait partie des objectifs du cours. Dans le cadre de l'examen, vous aurez donc à faire des calculs. Si vous les faites soigneusement, les expressions obtenues se simplifient assez largement et les réponses aux questions ne devraient pas être des formules monstrueuses.
2. Un aide-mémoire sera distribué avec l'examen. Il s'agit du même que celui disponible sur Moodle. Aucun autre document ne sera autorisé.