1 Signaux

1.1 Signal analogique

$x(t)\,:\, \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $
Signal analogique.
$t\mapsto x(t) $

1.2 Signal discret

$x:\,\{t_k,\,k\, \in \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{R} \} $

1.3 Signal numérique ou signal digital

Seul un sous ensemble de valeurs discrètes est l'ensemble des valeurs possibles.

$x:\,\{t_k, \, k \, \in \, \mathbb{Z}\} $
$\rightarrow \{\omega_1, \, \omega_2, \, ..., \omega_N\} \,\subset \,\mathbb{R} $

Nomenclature

instants d'échantillonage ${t_h}$
fréquence d'échantillonage $f_e, f_e = \frac{\omega_e}{2\pi}$
pulsation d'échantillonage $\omega_e$
{$x(t_k$}, {$x(kh)$}, ou simplement {$x(k)$}, un signal discret.

2 Echantillonage et reconstruction

2.1 Echantillonage

Définition: c'est l'opération d'extraire du signal analogique continu $x(t)$ une version discrète numérique {$x(kh)$}.
On considérera que l'échantillonage est uniforme: $t_k = kh$.
Echantilloage uniforme $\{x(kh)\}$

$x(t)\xrightarrow{\text{échantillonage}}\,\{x(kh)\}$

On négligera l'effet de quantification $\Rightarrow $ on insistera sur l'aspect échantillonage dans le temps.

2.2 Reconstruction

C'est l'équation inverse, à savoir restituer, reconstruire le signal analogique à partir des échantillons. $$\{x(kh)\}\xrightarrow{\text{reconstruction}}\,x(t)$$ La question est de savoir sur quelle(s) condition(s) ceci est possible sans erreur.

2.3 Théorème de l'échantillonage

Théorème de Shannon

A. Un signal analogique $x(t) $ dont la transformée de Fourier est nulle $\forall \omega \notin\ [-\omega_0, \omega_0]$ est parfaitement définit pas ses échantillons ${x(kh)}$, si la pulsation d'échantillonage $ \omega_e < 2\omega_0$.

B. La reconstruction de $x(t) $ est donné par $$ x(t) = \sum\limits_{k = - \infty}^{+\infty} x(kh)\, \frac{\sin(\frac{\omega_e}{2}(t-kh))}{\frac{\omega_e}{2}(t - kh)} $$
Illustration de l'hypothèse
Illustration de la formule de reconstruction
$$\frac{\sin(\frac{\omega_e}{2}t)}{\frac{\omega_e}{2}t} = \frac{\sin(\frac{\pi}{h}t)}{\frac{\pi}{h}} = \mbox{sinc}\,\left(\frac{1}{h}t\right)$$
La formule de reconstruction s'écrit également sous la forme: $$ x(t) = \sum\limits_{k = - \infty}^{+\infty} x(kh)\, \frac{\sin(\frac{\pi}{h}t-\pi k)}{\frac{\pi}{h}t - \pi k} $$ $$ x(t) = \sum\limits_{k = - \infty}^{+\infty} x(kh)\, \mbox{sinc}\,\left(\frac{1}{h}t-k\right)$$
Esquisse de la démonstration
1. On construit le périodisé en fréquence/pulsation divisé par h$X_e(\omega)$.
  
  $$X_e(\omega) \stackrel{\triangle}{=} \frac{1}{h} \sum\limits_{k = -\infty}^{+ \infty} X(\omega) + n\,\omega_e$$
2. Comme $X_e(\omega)$ est un signal périodique (en $\omega$), il admet une série de Fourier $$X_e(\omega) = \sum\limits_{k = -\infty}^{+\infty} c_k\, e^{-jkh\omega}$$ avec en série de Fourier classique $$ \big( c_k \, = \, \frac{1}{T} \,\int_\frac{-T}{2}^\frac{T}{2} x(t)\, e^{\,j\,\frac{2\pi h}{T}\,t}\, dt \big)$$ ce qui devient dans notre contexte $$ c_k \, = \, \frac{1}{\omega_e}\int_\frac{-\omega_e}{2}^\frac{\omega_e}{2} x(t)\, e^{\,j\,2\pi kh}\, d\omega \, dt $$
3. montre que les coefficients $c_k$ sont égaux à $X(kh)$ $$c_k = X(kh)$$
4. Ainsi si on connait les $c_k$ on peut fabriquer $X_e(\omega)$ par la reconstruction à partir de la série de Fourier.
5. Si $X_e(\omega)$ est connu, on fabrique $X(\infty)$ par resrtiction à l'intervalle $[-\frac{\omega_e}{2}\, ; \,\frac{\omega_e}{2}]$
6. On trouve $x(t)$ par transformation inverse de Fourier
  $\Rightarrow$ La formule de reconstruction est obtenue. $$C.Q.F.D$$

Détails

Comme $X(\omega)$ est nul $\forall \,|\omega| > \omega_0$: $$c_k = \frac{1}{\omega_e}\,\int_{-\infty}^\infty \frac{1}{h}\,X(\omega)\, e^{\,jkh\omega}\, d\omega $$ Comme $\omega_e = \frac{2\,\pi}{h}$: $$c_k = \frac{2\,\pi}{h}\,\int_{-\infty}^\infty \,X(\omega)\, e^{\,jkh\omega}\, d\omega $$ et on trouve la transformée de Fourier inverse évaluée en kh et donc: $$c_k = x(kh).$$
$$X_e(\omega) = \sum\limits_{k = -\infty}^{+\infty} x(kh)\, e^{-jkh\omega}$$

+ f. $$x(t) = \frac{1}{2\,\pi}\,\int_{-\infty}^\infty \,X(\omega)\, e^{\,j\omega t}\, d\omega $$ $$ = \frac{h}{2\,\pi}\,\int_{-\frac{\omega_e}{2}}^\frac{\omega_e}{2} \,X_e(\omega)\, e^{\,j\omega t}\, d\omega $$ $$ = \frac{h}{2\,\pi}\,\int_{-\frac{\omega_e}{2}}^\frac{\omega_e}{2} \big(\sum\limits_{k = -\infty}^{+\infty} x(kh)\, e^{-jkh\omega}\big)\, e^{\,j\omega t}\, d\omega $$ $$ = \sum\limits_{k = -\infty}^{+\infty} x(kh) \, \frac{h}{2\,\pi}\,\int_{-\frac{\omega_e}{2}}^\frac{\omega_e}{2} e^{\,j\omega t - jkh\omega} \,d\omega $$ $$ = \sum\limits_{k = -\infty}^{+\infty} x(kh) \, \frac{sin(\frac{\omega_e}{2}(t-kh))}{\frac{\omega_e}{2}(t - kh)}$$ $$C.Q.F.D$$

$\mbox{rect}_T(t) \longleftrightarrow^F T\, \mbox{sinc}\,(fT)$

$T\, \frac{sin\,(\pi fT)}{\pi f T}$

$$\sum\limits_{k\,=\,-\infty}^{+\infty} x(kh)\,\delta(t\,-\,kh)\, \longleftrightarrow^F \, X_e(t)\, =\, X(f)*\,\frac{1}{h}\,\delta (f\,-\,\frac{k}{h}) $$

$$x(t) \, = \, F^{-1}(X(f)) \, = F^{-1}(\mbox{rect}_T \, h \, X_e(f)) = F(\mbox{rect}_T) * F(h \, X_e(f)) $$

$$x(t) = h \, \frac{1}{h}\, \sin\,(\frac{\pi \, t\,\frac{1}{h}}{\pi \,\frac{t}{h}}) * \sum\limits_{k\, = \,-\infty}^{+\infty} x(kh)\,\delta (t\,-\,kh)$$ comme $\delta (t)$ est l'oprération neutre pour la convolution, on a $$x(t) = \sum\limits_{k\, = \,-\infty}^{+\infty} x(kh)\, \frac{ \sin(\pi \,\frac{t}{h} -\, k\pi)}{\pi \,\frac{t}{h} -k\pi}$$ on a la reconstruction sans erreur.