Analyse I

Quelques limites à savoir par coeur :

• $\lim_{n\to \infty} n^p = \begin{cases} +\infty & \text{si } p > 0 \\ 1 & \text{si } p = 0 \\ 0 & \text{si } p < 0 \end{cases}\qquad  \lim_{n\to \infty} \dfrac{1}{n^p} = \begin{cases} 0 & \text{si } p > 0 \\ 1 & \text{si } p = 0 \\ +\infty & \text{si } p < 0\end{cases}$
  
  
• $\lim_{n\to \infty} r^n =  \begin{cases} +\infty & \text{si } r > 1 \\ 1 & \text{si } r = 1 \\ 0 & \text{si }  -1 < r < 1 \\ \nexists & \text{si } r \leq -1 \end{cases}\qquad  \lim_{n\to \infty} \dfrac{1}{r^n} = \begin{cases} 0 & \text{si } |r| > 1 \\ 1 & \text{si } r = 1 \\ \infty & \text{si }  0 < r < 1, \\ \nexists & \text{si } -1 \leq r < 0 \end{cases}$
  
  
• Série géométrique : $\sum_{n = 0}^\infty r^n \quad \begin{cases} \text{converge vers }\frac{1}{1-r} \text{ si } -1 < r < 1 \\ \text{diverge sinon }  \end{cases}$
  
  
• Séries de Riemann :   $\sum_{n = 1}^\infty \dfrac{1}{n^p} \quad \begin{cases} \text{converge si } p > 1 \\ \text{diverge sinon } \end{cases}$
  
  
• Exponentielle : $\lim_{n\to \infty} \left( 1+ \dfrac{x}{n}\right)^n = e^x = \sum_{n=0}^\infty \dfrac{x^k}{k!},\qquad \forall x\in \mathbb R.$